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The sklearn.metrics.pairwise 子模块实现了用于评估成对距离或样本集合之间的联系的实用程序。
本模块同时包含距离度量和核函数，对于这两者这里提供一个简短的总结。
距离度量是形如 d(a, b) 例如 d(a, b) < d(a, c) 如果对象 a 和 b 被认为 “更加相似” 相比于 a 和 c. 两个完全相同的目标的距离是零。最广泛使用的例子就是欧几里得距离。 为了保证是 ‘真实的’ 度量, 其必须满足以下条件:
- 对于所有的 a 和 b，d(a, b) >= 0
- 正定性：当且仅当 a = b时，d(a, b) == 0
- 对称性：d(a, b) == d(b, a)
- 三角不等式：d(a, c) <= d(a, b) + d(b, c)
核函数是相似度的标准. 如果对象 a 和 b 被认为 “更加相似” 相比对象 a 和 c，那么 s(a, b) > s(a, c). 核函数必须是半正定性的.
存在许多种方法将距离度量转换为相似度标准，例如核函数。 假定 D 是距离, and S 是核函数:
S = np.exp(-D * gamma), 其中gamma的一种选择是1 / num_featuresS = 1. / (D / np.max(D))
X 的行向量和 Y 的行向量之间的距离可以用函数 pairwise_distances 进行计算。 如果 Y 被忽略，则 X 的所有行向量的成对距离就会被计算。 类似的，函数 pairwise.pairwise_kernels 可以使用不同的核函数(kernel functions)来计算 X 和 Y 之间的 kernel。 请查看API获得更多详情。
>>> import numpy as np
>>> from sklearn.metrics import pairwise_distances
>>> from sklearn.metrics.pairwise import pairwise_kernels
>>> X = np.array([[2, 3], [3, 5], [5, 8]])
>>> Y = np.array([[1, 0], [2, 1]])
>>> pairwise_distances(X, Y, metric='manhattan')
array([[ 4., 2.],
[ 7., 5.],
[12., 10.]])
>>> pairwise_distances(X, metric='manhattan')
array([[0., 3., 8.],
[3., 0., 5.],
[8., 5., 0.]])
>>> pairwise_kernels(X, Y, metric='linear')
array([[ 2., 7.],
[ 3., 11.],
[ 5., 18.]])5.8.1. 余弦相似度
cosine_similarity 计算L2正则化的向量的点积. 也就是说, if 
和 
都是行向量,, 它们的余弦相似度 
定义为:
这被称为余弦相似度, 因为欧几里得(L2) 正则化将向量投影到单元球面内，那么它们的点积就是被向量表示的点之间的角度。
这种核函数对于计算以tf-idf向量表示的文档之间的相似度是一个通常的选择. cosine_similarity 接受 scipy.sparse 矩阵. (注意到 sklearn.feature_extraction.text 中的tf-idf函数能计算归一化的向量，在这种情况下 cosine_similarity 等同于 linear_kernel, 只是慢一点而已.)
参考资料:
- C.D. Manning, P. Raghavan and H. Schütze (2008). Introduction to Information Retrieval. Cambridge University Press. http://nlp.stanford.edu/IR-book/html/htmledition/the-vector-space-model-for-scoring-1.html
5.8.2. 线性核函数
函数 linear_kernel 是计算线性核函数, 也就是一种在 degree=1 和 coef0=0 (同质化) 情况下的 polynomial_kernel 的特殊形式. 如果 x 和 y 是列向量, 它们的线性核函数是:
5.8.3. 多项式核函数
函数polynomial_kernel计算两个向量的d次方的多项式核函数. 多项式核函数代表着两个向量之间的相似度.概念上来说，多项式核函数不仅考虑相同维度还考虑跨维度的向量的相似度。当被用在机器学习中的时候，这可以原来代表着特征之间的 相互作用。
多项式函数定义为:
其中:
x,y是输入向量d核函数维度
如果 
那么核函数就被定义为同质化的.
5.8.4. Sigmoid 核函数
函数 sigmoid_kernel 计算两个向量之间的S型核函数. S型核函数也被称为双曲切线或者 多层感知机(因为在神经网络领域，它经常被当做激活函数). S型核函数定义为:
其中:
x,y是输入向量
是斜度
是截距
5.8.5. RBF 核函数
函数 rbf_kernel 计算计算两个向量之间的径向基函数核 (RBF) 。 其定义为:
其中 x 和 y 是输入向量. 如果 
核函数就变成方差为 
的高斯核函数.
5.8.6. 拉普拉斯核函数
函数 laplacian_kernel 是一种径向基函数核的变体，定义为:
其中 x 和 y 是输入向量 并且 
是输入向量之间的曼哈顿距离.
已被证明在机器学习中运用到无噪声数据中是有用的. 可见例如 Machine learning for quantum mechanics in a nutshell.
5.8.7. 卡方核函数
在计算机视觉应用中训练非线性支持向量机时，卡方核函数是一种非常流行的选择.它能以 chi2_kernel 计算然后将参数kernel=”precomputed”传递到
sklearn.svm.SVC :
>>> from sklearn.svm import SVC
>>> from sklearn.metrics.pairwise import chi2_kernel
>>> X = [[0, 1], [1, 0], [.2, .8], [.7, .3]]
>>> y = [0, 1, 0, 1]
>>> K = chi2_kernel(X, gamma=.5)
>>> K
array([[1. , 0.36787944, 0.89483932, 0.58364548],
[0.36787944, 1. , 0.51341712, 0.83822343],
[0.89483932, 0.51341712, 1. , 0.7768366 ],
[0.58364548, 0.83822343, 0.7768366 , 1. ]])
>>> svm = SVC(kernel='precomputed').fit(K, y)
>>> svm.predict(K)
array([0, 1, 0, 1])
也可以直接使用 kernel 变量:
>>> svm = SVC(kernel=chi2_kernel).fit(X, y)
>>> svm.predict(X)
array([0, 1, 0, 1])
卡方核函数定义为
![k(x, y) = \exp \left (-\gamma \sum_i \frac{(x[i] - y[i]) ^ 2}{x[i] + y[i]} \right )](https://i1.wp.com/www.0dayhub.com/wp-content/uploads/img/33b1cdc0654561cadac36a1232552b99.jpg)
数据假定为非负的，并且已经以L1正则化。 归一化随着与卡方平方距离的连接而被合理化，其是离散概率分布之间的距离。
卡方核函数最常用于可视化词汇的矩形图。
参考资料:
- Zhang, J. and Marszalek, M. and Lazebnik, S. and Schmid, C. Local features and kernels for classification of texture and object categories: A comprehensive study International Journal of Computer Vision 2007 http://research.microsoft.com/en-us/um/people/manik/projects/trade-off/papers/ZhangIJCV06.pdf